Korrelation

Korrelation beschreibt, wie zwei Merkmale miteinander zusammenhängen. Steigt der Wert des einen Merkmals, während das andere tendenziell ebenfalls steigt, spricht man von einer positiven Korrelation. Fallen die Werte des zweiten Merkmals tendenziell, ist die Korrelation negativ. Wie eng der Zusammenhang ausfällt, lässt sich mit einem Korrelationskoeffizienten messen. Welcher Koeffizient passt, hängt von den Daten und der Form des Zusammenhangs ab.

Was ist eine Korrelation?

Für eine Korrelationsanalyse brauchst du Wertepaare. Zu jeder untersuchten Person, jedem Gegenstand oder jedem Zeitpunkt gehören zwei Messwerte, die sich eindeutig zuordnen lassen. Die Frage lautet dann: Gehen vergleichsweise hohe Werte des ersten Merkmals regelmäßig mit hohen oder niedrigen Werten des zweiten einher? Zwei getrennt sortierte Listen reichen dafür nicht aus. Beim Sortieren muss die Zuordnung innerhalb jeder Zeile erhalten bleiben.

Die meisten Korrelationskoeffizienten sind symmetrisch. Bei der Pearson-Korrelation kannst du die beiden Variablen vertauschen und erhältst denselben Wert. Deshalb brauchst du für ihre Berechnung auch keine abhängige und unabhängige Variable festzulegen. Diese Unterscheidung wird wichtig, sobald du eine Zielgröße vorhersagen oder die Wirkung einer Veränderung untersuchen möchtest.

Was bedeuten positive und negative Korrelation?

Das Vorzeichen gibt die Richtung an. Für die lineare Korrelation nach Pearson betrachtet man die Abweichungen vom jeweiligen Mittelwert. Liegen beide Werte darüber oder beide darunter, trägt das Paar positiv zum Koeffizienten bei. Liegt einer darüber und der andere darunter, trägt es negativ bei. Welches Vorzeichen sich insgesamt ergibt, hängt auch von der Größe der einzelnen Abweichungen ab. Bei einer Rangkorrelation kommt es auf die Reihenfolge an.

Der Betrag beschreibt die Stärke. Ein Wert von −0,80 steht für einen ebenso engen linearen Zusammenhang wie +0,80. Das Minuszeichen beschreibt keine Verschlechterung. Auch lässt sich aus +0,80 keine Zunahme um 80 Prozent ableiten. Der Koeffizient hat keine Einheit und sagt für sich genommen nichts darüber aus, um wie viele Minuten, Euro oder Meter sich eine Größe verändert.

Wie liest man einen Korrelationskoeffizienten?

Für diese Aussagen müssen beide Variablen streuen. Enthält eine Spalte durchgehend denselben Wert, ist ihre Standardabweichung null. Damit fehlt die Bezugsgröße im Nenner und Pearson-r ist undefiniert. Das unterscheidet sich inhaltlich von einer berechenbaren Korrelation von null.

Wann ist eine Korrelation stark?

Pauschale Grenzen für „schwach“, „mittel“ oder „stark“ verdecken oft die eigentliche Frage. Für die Einordnung zählen die Genauigkeit der Messung, die Bandbreite der untersuchten Werte und der praktische Zweck. Frage zuerst, wie große Zusammenhänge unter vergleichbaren Bedingungen üblicherweise auftreten. Beurteile anschließend, wie genau die Stichprobe den Koeffizienten eingrenzt. Ein auf zwei Nachkommastellen gerundeter Wert kann eine erhebliche statistische Unsicherheit haben.

Beachte außerdem die Auswahl der Beobachtungen. Deckt die Stichprobe nur einen engen Ausschnitt der möglichen Werte ab, kann die gemessene Korrelation deutlich schwächer ausfallen als in der gesamten Population. Umgekehrt können mehrere Gruppen mit unterschiedlichen Mittelwerten zusammen eine auffällige Punktwolke ergeben, obwohl innerhalb der einzelnen Gruppen kaum ein Zusammenhang besteht. Beide Auswertungen beantworten unterschiedliche Fragen.

Welche Korrelationsmethode passt zu meinen Daten?

Pearson oder Spearman?

Pearson-r berücksichtigt die numerischen Abstände zwischen den Messwerten. Ein ungewöhnlich großer Abstand kann das Ergebnis entsprechend stark beeinflussen. Für die bloße Berechnung des Koeffizienten müssen die Daten keiner Normalverteilung folgen. Zusätzliche Verteilungsannahmen kommen ins Spiel, wenn du einen klassischen Signifikanztest oder ein Konfidenzintervall für die Grundgesamtheit berechnest.

Spearman verwendet die Rangplätze beider Merkmale. Bei gleichen Werten vergibt man üblicherweise den mittleren der belegten Ränge. Auf diesen Rangzahlen wird anschließend die Pearson-Korrelation berechnet. So lässt sich ein monotoner Zusammenhang erfassen: Die Werte steigen durchgehend tendenziell an oder fallen tendenziell ab, auch wenn die Kurve dabei flacher oder steiler wird. Eine ausgeprägte U-Form kann sich dagegen auch bei Spearman in einem Wert nahe null verbergen.

Was gilt bei nominalen und binären Daten?

Bei ungeordneten Kategorien mit mehr als zwei Ausprägungen sind Zahlencodes bloße Bezeichnungen. Pearson-r würde sich schon ändern, wenn du die Kategorien anders durchnummerierst. Dafür eignen sich eine Kreuztabelle und ein Zusammenhangsmaß wie Cramérs V. Sein Wert zeigt die Stärke der Beziehung zwischen den Kategorien. Ein Vorzeichen für steigend oder fallend hätte hier keine sinnvolle Interpretation, weil es keine natürliche Rangfolge gibt.

Bei genau zwei Ausprägungen ist eine Codierung als null und eins hilfreich. Zusammen mit einem metrischen Merkmal ergibt Pearson-r dann die punktbiseriale Korrelation. Vertauschst du die Codes, kehrt sich das Vorzeichen um. Die Stärke des Zusammenhangs bleibt gleich. Gib deshalb im Bericht an, welche Gruppe mit eins codiert wurde. Bei zwei binären Variablen entspricht Pearson-r mit dieser Codierung dem Phi-Koeffizienten.

Wann lohnt sich Kendall-Tau-b?

Kendall betrachtet Paare von Beobachtungen. Steht eine Beobachtung bei beiden Merkmalen in derselben Reihenfolge vor der anderen, ist das Paar konkordant. Bei entgegengesetzter Reihenfolge ist es diskordant. Die Variante Tau-b berücksichtigt Rangbindungen bei der Normierung. Das ist besonders relevant, wenn eine Antwortskala nur wenige Abstufungen enthält und viele Personen denselben Wert angeben.

Kendall-Tau und Spearman-Rho haben dieselben möglichen Vorzeichen, beruhen aber auf verschiedenen Rechenregeln. Ein direkter Größenvergleich zwischen beiden Zahlen ist deshalb wenig aussagekräftig. Für eine Serie von Erhebungen ist es sinnvoll, die gewählte Methode beizubehalten und einen späteren Methodenwechsel ausdrücklich zu kennzeichnen.

Korrelation berechnen mit Formel und Beispiel

Wie eng hängen die Zahl der Halte und die Fahrzeit zusammen? Für das Rechenbeispiel liegen fünf erfundene Fahrten vor. Die Fahrzeit ist in Minuten gemessen. Jede Tabellenzeile gehört zu genau einer Fahrt. Die letzte Spalte zeigt das Produkt aus den Abweichungen vom jeweiligen Mittelwert.

Die durchschnittliche Zahl der Halte beträgt 6, die durchschnittliche Fahrzeit 16 Minuten. Fahrt A liegt bei beiden Merkmalen um vier Einheiten unter dem Mittelwert. Das Produkt aus −4 und −4 ist +16. Fahrt E liegt bei den Halten um vier und bei der Fahrzeit um zwei Einheiten darüber. Auch dieses Produkt ist positiv. So tragen sowohl die kurzen als auch die langen Fahrten zur positiven Korrelation bei.

Die fünf Punkte zeigen die einzelnen Fahrten. Die gestrichelte Gerade fasst ihren linearen Zusammenhang zusammen.

Pearson-r von Hand berechnen

Die Formel lautet r = Σ[(xᵢ − x̄) · (yᵢ − ȳ)] / √[Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²]. Das Summenzeichen steht für die Addition über alle Fahrten. Im Zähler ergeben die fünf Produkte zusammen 32. Für den Nenner quadrierst du die Abweichungen jeder Spalte getrennt. Bei den Halten erhältst du 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40. Bei der Fahrzeit sind es 16 + 0 + 4 + 16 + 4 = 40.

Das Ergebnis ist r = 32 / √(40 · 40) = 0,80. In dieser Stichprobe gehören mehr Halte tendenziell zu längeren Fahrten. Eine perfekte Gerade entsteht nicht: Fahrt C hat mehr Halte als Fahrt B und dauert trotzdem zwei Minuten kürzer. Gerade solche Abweichungen gehen verloren, wenn man lediglich die kürzeste mit der längsten Fahrt vergleicht.

Korrelation in Excel berechnen

Übernimmst du die Tabelle ab Zelle A1, stehen die Halte in B2 bis B6 und die Fahrzeiten in C2 bis C6. Die deutsche Excel-Formel lautet =KORREL(B2:B6;C2:C6). Zur visuellen Kontrolle eignet sich ein XY-Punktdiagramm mit den Halten auf der horizontalen Achse. Ein Liniendiagramm würde die Fahrten in ihrer Tabellenreihenfolge verbinden und dadurch einen Verlauf nahelegen, den du gar nicht untersucht hast.

Auch die Einheiten lassen sich am Beispiel prüfen. Wandelst du sämtliche Fahrzeiten von Minuten in Sekunden um, bleibt r bei 0,80. Mittelwert und Abweichungen ändern sich im gleichen Verhältnis wie die entsprechende Bezugsgröße im Nenner. Die Steigung einer Regressionsgeraden würde sich dagegen ändern. Sie beschreibt schließlich einen Zuwachs in der gewählten Einheit. Eigene Wertepaare kannst du mit dem Korrelationsrechner auswerten.

Was zeigt ein Streudiagramm zusätzlich zur Korrelation?

In einem Streudiagramm entspricht jeder Punkt einem Wertepaar. Betrachte zuerst die Form, dann die Verteilung der Punkte. Eine einzige lang gestreckte Wolke spricht für eine andere Datenstruktur als zwei getrennte Gruppen oder ein gekrümmtes Band. Auch leere Bereiche sind aufschlussreich. Sie zeigen, für welche Kombinationen der beiden Variablen die Stichprobe überhaupt Beobachtungen enthält.

Achte besonders auf weit außen liegende Punkte. Liegt ein Messwert fern vom Zentrum beider Variablen, kann er einen starken Zusammenhang vortäuschen oder einen vorhandenen Trend verdecken. Prüfe die Herkunft des Werts und berechne bei begründetem Verdacht den Koeffizienten mit und ohne diese Beobachtung. Gehört der Punkt zur untersuchten Population, ist gerade der Unterschied zwischen beiden Ergebnissen berichtenswert.

Bei zeitlich geordneten Daten enthält ein normales Streudiagramm keine Information darüber, wann ein Wertepaar beobachtet wurde. Zwei über die Jahre steigende Reihen können hoch korrelieren, selbst wenn ihre kurzfristigen Schwankungen wenig miteinander zu tun haben. Ein zweites Diagramm mit der Zeit auf der waagerechten Achse zeigt, ob der Zusammenhang vor allem beim Vergleich früherer mit späteren Messungen entsteht.

Was ist eine Korrelationsmatrix?

Eine Korrelationsmatrix fasst paarweise Koeffizienten mehrerer Variablen in einer Tabelle zusammen. Zeilen und Spalten tragen dieselben Bezeichnungen. Auf der Diagonalen steht bei variierenden Merkmalen jeweils eine Eins, weil jede Variable exakt mit sich selbst korreliert. Oberhalb und unterhalb der Diagonalen spiegeln sich dieselben Werte. Für die Auswertung reicht daher eine Hälfte der Matrix.

Vor dem Vergleich der Koeffizienten lohnt sich ein Blick auf die Fallzahlen. Werden fehlende Werte paarweise ausgeschlossen, können zwei Zellen auf unterschiedlichen Personengruppen beruhen. Ein vollständiger Fallausschluss schafft eine gemeinsame Datengrundlage, kann aber viele Beobachtungen kosten und die Zusammensetzung der Stichprobe verändern. Dokumentiere deshalb, wie fehlende Werte behandelt wurden.

Mit der Zahl der Variablen wächst auch die Zahl der Vergleiche. Bei zehn Merkmalen gibt es bereits 45 verschiedene Paare. Wer nachträglich die auffälligste Zelle herausgreift, sollte den Befund an neuen Daten prüfen. Für die explorative Datenanalyse ist die Matrix besonders nützlich, um gezielt auszuwählen, welche Beziehungen eine genauere grafische Untersuchung verdienen.

Wie berichtet man eine Korrelation?

Nenne die untersuchten Merkmale, den verwendeten Koeffizienten und die Anzahl gültiger Wertepaare. Ergänze für eine Schätzung aus einer Stichprobe möglichst ein Konfidenzintervall. Es macht sichtbar, wie eng die Daten unter den gewählten Modellannahmen den Zusammenhang eingrenzen. Beschreibe außerdem, auf welche Personen, Messzeitpunkte oder Objekte sich die Auswertung bezieht.

Was unterscheidet Korrelation und Kovarianz?

Die Kovarianz misst, wie die Abweichungen zweier Merkmale von ihren jeweiligen Mittelwerten gemeinsam ausfallen. Ihr Vorzeichen informiert über die Richtung. Ihre Größe hängt jedoch von den Maßeinheiten beider Variablen ab. Wer eine Kovarianz ohne Einheiten veröffentlicht, lässt deshalb einen wichtigen Teil der Information weg. Die Pearson-Korrelation entsteht, indem man die Kovarianz durch das Produkt der beiden Standardabweichungen teilt. So lässt sich ihre Größenordnung auch dann einordnen, wenn die ursprünglichen Messskalen unterschiedlich waren.

Was sagen p-Wert und Bestimmtheitsmaß aus?

Ein p-Wert aus einem zweiseitigen Korrelationstest gibt an, wie wahrscheinlich unter der Nullhypothese und den Modellannahmen ein mindestens so extremes Testergebnis wäre. Der p-Wert hängt auch von der Stichprobengröße ab. In großen Stichproben können kleine Koeffizienten statistisch auffällig werden. Für die inhaltliche Beurteilung bleiben Größe, Richtung und Präzision des Effektschätzers entscheidend.

In einer einfachen linearen Regression mit Achsenabschnitt entspricht das Bestimmtheitsmaß R² dem Quadrat von Pearson-r. Es beschreibt, welcher Anteil der beobachteten Streuung der Zielvariablen durch die angepasste Gerade abgebildet wird. Beim Quadrieren verschwindet das Vorzeichen. Wer nur R² veröffentlicht, lässt damit offen, ob die Gerade steigt oder fällt.

Quelle: datenbasiert.de

Welche zusätzliche Evidenz eine Ursache-Wirkungs-Aussage verlangt, erklärt der Artikel über Kausalität. Für die sprachliche Einordnung eines statistischen Befunds findest du im Vergleich Korrelation vs. Kausalität ein durchgerechnetes Beispiel mit gegensätzlichen Ergebnissen vor und nach der Aufteilung in Gruppen.