Zeitreihenanalyse

Zeitreihenanalyse ist ein statistisches Verfahren, mit dem du untersuchst, wie sich eine Messgröße im Zeitverlauf verändert. Du kannst damit einen langfristigen Trend von regelmäßig wiederkehrenden Schwankungen unterscheiden und künftige Werte prognostizieren. Ein einfaches Beispiel liefert die Besucherzahl einer Bibliothek. Am Montag kommen 120 Menschen, am Dienstag 84. Ist das ein ungewöhnlicher Rückgang? Am Dienstag der Vorwoche kamen 80. Je nachdem, welchen Tag du zum Vergleich heranziehst, ergibt sich ein anderes Bild.

Was ist eine Zeitreihenanalyse?

Was ist eine Zeitreihe?

Eine Zeitreihe besteht aus Beobachtungen derselben Größe zu verschiedenen Zeitpunkten oder für aufeinanderfolgende Zeitintervalle. Der tägliche Besucherzähler einer Bibliothek liefert eine solche Reihe, ebenso die monatliche Stromrechnung eines Haushalts oder die stündliche Temperatur an einer Wetterstation. Zu jedem Wert gehört die Information, wann und wie er gemessen wurde.

Die Reihenfolge enthält einen Teil der gesuchten Information. Stell dir zwei Wochen mit denselben sieben Besucherzahlen vor. In der einen Woche steigt die Zahl der Besuche von Tag zu Tag, in der anderen fällt sie. Mittelwert und Spannweite sind identisch. Erst der Verlauf zeigt, an welchen Tagen das Personal besonders gefragt war. Eine Zeitreihenanalyse erhält deshalb die zeitliche Zuordnung der Werte.

Welche Fragen beantwortet eine Zeitreihenanalyse?

Für die Leitung der Bibliothek können dieselben Messwerte unterschiedliche Fragen beantworten. Steigen die Besuche über mehrere Quartale? An welchem Wochentag ist regelmäßig am meisten los? Wie viele Menschen sind am kommenden Montag zu erwarten? Die erste Frage betrifft den Trend, die zweite das Wochenmuster und die letzte eine Prognose für einen konkreten Tag.

Entscheidend ist, wofür du das Ergebnis brauchst. Für den Jahresbericht genügt möglicherweise eine Monatssumme. Wer den Spätdienst einteilt, muss wissen, wie viele Menschen zwischen 16 und 18 Uhr kommen. Sobald du alle Stunden zu Tageswerten addierst, geht diese Information verloren. Die Wahl des Zeitintervalls gehört deshalb an den Anfang der Analyse.

Welche Muster gibt es in einer Zeitreihe?

Trend

Der Trend beschreibt die längerfristige Entwicklung einer Zeitreihe. Der Besuch kann von Monat zu Monat steigen, obwohl es jede Woche ruhige Dienstage gibt. Um einen solchen Trend zu untersuchen, solltest du vergleichbare Zeiträume betrachten. Ein Monat mit fünf Samstagen kann allein deshalb mehr Besuche aufweisen als ein Monat mit vier Samstagen, wenn die Bibliothek an diesem Wochentag besonders stark besucht wird.

Berechne zusätzlich die durchschnittliche Zahl der Besuche je Öffnungstag. Steigt die Monatssumme und bleibt dieser Durchschnitt konstant, lässt sich der Zuwachs bereits durch zusätzliche Öffnungstage erklären. Ändern sich auch die Öffnungszeiten, kann zusätzlich der Besuch je geöffneter Stunde interessant sein.

Saisonalität und Zyklen

Saisonalität bezeichnet ein Muster, das in einem festen zeitlichen Rhythmus wiederkehrt. Bei täglichen Beobachtungen kann eine Saison sieben Tage umfassen. Bei monatlichen Heizkosten zeigt sich das saisonale Muster oft im Jahresverlauf. Auch mehrere Rhythmen können zusammenwirken, etwa wenn stündliche Besuche sowohl von der Tageszeit als auch vom Wochentag abhängen.

Ein Zyklus kann ebenfalls Phasen mit steigenden und sinkenden Werten durchlaufen. Seine Dauer ist jedoch variabel. Bei konjunkturellen Schwankungen wäre es beispielsweise voreilig, den nächsten Wendepunkt auf denselben Kalendermonat wie im vorigen Zyklus zu legen. Ob eine Wiederholung saisonal ist, lässt sich erst über mehrere Durchläufe des vermuteten Rhythmus beurteilen.

Ausreißer und Strukturbrüche

Eine ausverkaufte Autorenlesung bringt an einem Dienstag ungewöhnlich viele Menschen in die Bibliothek. Ist das Ereignis dokumentiert und passt die Besucherzahl zum Veranstaltungstag, bleibt der Messwert Teil der Zeitreihe. Eine Markierung im Diagramm hält fest, weshalb dieser Dienstag für die Schätzung eines gewöhnlichen Dienstags wenig geeignet ist.

Öffnet die Bibliothek künftig jeden Dienstag bis 20 Uhr, kann sich das Niveau dauerhaft verschieben. Einen solchen Wechsel bezeichnet man als Strukturbruch. Für die Prognose ist der Unterschied erheblich. Die einmalige Lesung klingt nach einem Tag ab. Die neuen Öffnungszeiten gelten auch nächsten Monat. Prüfe bei einem Sprung außerdem die Messmethode. Zählt ein neuer Sensor Eintritte und Austritte zusammen, braucht die Datenreihe ab dem Einbau eine entsprechend andere Interpretation.

Restkomponente

Bei der Zerlegung einer Zeitreihe bleibt nach Berücksichtigung von Trend und Saison ein Rest. In diesen Werten können zufällige Schwankungen ebenso stecken wie ein übersehenes Muster. Sind die Restwerte beispielsweise an jedem ersten Samstag des Monats auffällig hoch, lohnt ein Blick in den Veranstaltungskalender. Ein regelmäßiger Bücherflohmarkt wäre eine Erklärung, die das bisherige Wochenmuster allein nicht erfasst.

Wie führt man eine Zeitreihenanalyse durch?

Fragestellung, Zeitraum und Zeitintervall festlegen

Lege zuerst den Prognosehorizont fest. Erstellt die Bibliothek am Sonntag ihren Dienstplan für die ganze Folgewoche, braucht sie Vorhersagen für bis zu sieben Tage im Voraus. Eine Prognose für morgen ist eine andere Aufgabe. Bei der Prüfung des Verfahrens sollte derselbe Vorlauf gelten wie beim späteren Einsatz.

Der Beobachtungszeitraum muss zum vermuteten Muster passen. Drei Wochen zeigen, wie ein Wochenvergleich funktioniert. Für die Schätzung einer Jahressaison brauchst du Beobachtungen über mehrere Jahre. Prüfe dabei, ob frühere Jahre unter vergleichbaren Bedingungen erhoben wurden. Ein langer Zeitraum mit wechselnden Zählmethoden kann die aktuelle Planung erschweren.

Fehlende Werte und Kalendereffekte erkennen

Lege für jeden Kalendertag eine Zeile an. Wenn die Bibliothek sonntags geschlossen ist, sind null Besuche ein bekannter Tageswert. Fällt der Zähler an einem geöffneten Dienstag aus, bleibt die Besucherzahl unbekannt. Eine Null an dieser Stelle würde den Durchschnitt für Dienstage senken. Auch das Überspringen der Zeile hat Folgen. Sieben Zeilen zurück entspricht anschließend womöglich einem anderen Wochentag.

Vermerke Öffnungsdauer, Feiertage und Veranstaltungen neben den Tageswerten. Wenn du eine Messlücke für ein bestimmtes Verfahren schätzen musst, kennzeichne den Ersatzwert. Für die Bewertung einer Prognose brauchst du einen tatsächlich beobachteten Vergleichswert. Ein geschätzter Dienstag kann diese Aufgabe nicht erfüllen.

Die Zeitreihe als Diagramm darstellen

Im folgenden fiktiven Beispiel ist die Bibliothek von Montag bis Samstag geöffnet. Das Diagramm zeigt die Eintritte an 21 aufeinanderfolgenden Kalendertagen. Die regelmäßigen Sonntagsnullen fallen sofort auf. Für den Vergleich der geöffneten Tage hilft die zweite Linie. Sie gibt jeweils den Mittelwert des aktuellen Tages und der sechs vorangegangenen Tage an.

Die geglättete Linie steigt über die drei Beispielwochen leicht. Daraus lässt sich noch kein belastbarer Jahrestrend ableiten. Ablesen kannst du hingegen, dass der Rückgang zwischen Montag und Dienstag in jeder dargestellten Woche vorkommt. Eine sinnvolle nächste Auswertung wäre ein Vergleich aller Dienstage über mehrere Monate.

Autokorrelation erkennen

Autokorrelation misst, wie stark Werte einer Zeitreihe mit zeitlich versetzten Werten derselben Reihe zusammenhängen. Der Abstand heißt Lag. Bei täglichen Beobachtungen vergleichst du für Lag 1 jeden Tag mit seinem Vortag und für Lag 7 jeden Tag mit demselben Wochentag der Vorwoche. Die Autokorrelationsfunktion, kurz ACF, zeigt diese Zusammenhänge für mehrere Abstände. Wie ein Korrelationskoeffizient zu lesen ist, erklärt die Korrelationsanalyse.

Hohe Werte bei Lag 7 können zu einem Wochenmuster passen. In der Bibliothek tragen die vorhersehbaren Sonntagsnullen dazu bei. Auch ein starker Trend kann bei mehreren Abständen hohe Autokorrelation erzeugen. Willst du wissen, was nach Berücksichtigung des Wochentags noch vorhersehbar bleibt, untersuche die Autokorrelation der Modellresiduen.

Quelle: datenbasiert.de

Welche Methoden der Zeitreihenanalyse gibt es?

Gleitender Durchschnitt

Beim gleitenden Durchschnitt fasst du ein wanderndes Fenster von Beobachtungen zusammen. Jeden Tag kommt ein neuer Wert ins Fenster, der älteste fällt heraus. Ein rückwärts gerichtetes Sieben-Tage-Mittel umfasst bei vollständigen Tagesdaten jeden Wochentag genau einmal. Dadurch lässt sich in unserem Beispiel die Entwicklung über mehrere Wochen besser verfolgen.

Ein breiteres Fenster glättet stärker und reagiert später auf eine Veränderung. Ein zentriertes Sieben-Tage-Mittel ordnet den Durchschnitt dem mittleren Tag zu. Es braucht dafür die Werte der drei folgenden Tage und eignet sich zur rückblickenden Beschreibung. Für den Dienstplan, der heute erstellt wird, stehen diese Messungen noch aus.

Am Sonntag der zweiten Woche steht der Tageswert bei null. Das gleitende Sieben-Tage-Mittel liegt zugleich bei rund 88,1 Besuchen. Die Woche umfasst insgesamt 617 Besuche an sechs Öffnungstagen. Für den Durchschnitt je Öffnungstag teilst du deshalb dieselbe Summe durch sechs und erhältst rund 102,8. Im Diagramm hat das gleitende Mittel den Nenner sieben, weil es den Verlauf je Kalendertag beschreibt.

Zeitreihenzerlegung

Bei einer additiven Zerlegung beschreibst du den beobachteten Wert als Summe aus Trendkomponente, Saisonkomponente und Rest. Das passt, wenn ein saisonaler Ausschlag ungefähr gleich viele zusätzliche Besuche bringt. Wächst der Ausschlag ungefähr proportional zum Besuchsniveau, kommt eine multiplikative Zerlegung infrage. Dann wird die saisonale Wirkung als Faktor dargestellt.

Die Nullen der geschlossenen Sonntage verdienen bei der Methodenwahl besondere Aufmerksamkeit. Eine logarithmische Transformation, wie sie bei proportionalen Schwankungen häufig eingesetzt wird, setzt positive Werte voraus. Für die Dienstplanung kannst du die bekannten Schließtage direkt mit null einplanen und das Besuchsniveau gezielt für die Öffnungstage modellieren. Im Kalenderraster bleibt jeder Sonntag erhalten.

Exponentielle Glättung und Holt-Winters

Bei der exponentiellen Glättung erhalten jüngere Beobachtungen mehr Gewicht. Angenommen, die bisherige Schätzung des Niveaus beträgt 100 Besuche und der neue Messwert liegt bei 120. Bei einem Glättungsparameter von 0,25 wird das Niveau auf 105 aktualisiert. Ein Viertel der Abweichung von 20 geht in die neue Schätzung ein.

Die einfache Variante eignet sich für ein schwankendes Niveau ohne ausgeprägten Trend oder Saison. Holt ergänzt eine Trendkomponente. Holt-Winters berücksichtigt zusätzlich eine saisonale Komponente. So kann ein Modell für die Bibliothek abbilden, dass das Besuchsniveau über Monate steigt und Dienstage regelmäßig ruhiger ausfallen. Wie schnell es auf neue Beobachtungen reagiert, lässt sich anhand zurückliegender Prognosen beurteilen.

ARIMA und SARIMA

Ein ARIMA-Modell kombiniert frühere Werte der Reihe mit vergangenen Modellabweichungen. Das Kürzel steht für Autoregressive Integrated Moving Average. Der integrierte Teil bezieht sich auf die Differenzbildung. Bei einer ersten Differenz modellierst du die Veränderung zum vorherigen Zeitpunkt. Aus Tageswerten von 100, 106 und 103 entstehen die Differenzen +6 und −3.

Das Ziel der Differenzierung ist häufig eine annähernd stationäre Reihe. Bei schwacher Stationarität bleiben Mittelwert und Varianz über die Zeit stabil, und der Zusammenhang zwischen zwei Beobachtungen hängt von ihrem zeitlichen Abstand ab. Ob eine Differenzierung sinnvoll ist, hängt von den Daten ab. SARIMA ergänzt saisonale Modellterme. Bei Tagesdaten mit Wochensaison kann eine saisonale Differenz den heutigen Besuch mit dem Besuch vor sieben Tagen vergleichen.

Die Schreibweise ARIMA(p, d, q) hilft beim Lesen eines Modellergebnisses. p steht für die Ordnung des autoregressiven Anteils, d für die Anzahl der Differenzierungen und q für die Ordnung des Moving-Average-Anteils. Dieser letzte Teil arbeitet mit zurückliegenden Modellabweichungen. Der ähnlich klingende gleitende Durchschnitt aus dem Diagramm mittelt dagegen direkt die beobachteten Tageswerte.

Regression mit Zeit- und Kalendereffekten

Eine Regressionsanalyse eignet sich, wenn bekannte Einflussgrößen in die Prognose eingehen sollen. Du kannst für jeden Tag festhalten, ob Ferien sind, wie viele Stunden die Bibliothek öffnet und ob eine Veranstaltung vorgesehen ist. Ein Modell schätzt daraus die zu erwartende Besucherzahl. Für die Vorhersage dürfen nur Informationen einfließen, die zum Planungszeitpunkt vorliegen.

Eine solche Regression ist auch für Entscheidungen interessant. Wenn die Stadt längere Dienstagsöffnungen einführt, lässt sich untersuchen, wie sich die Besuchszahl ab diesem Zeitpunkt verändert. Fällt die Umstellung in die Ferien, können beide Einflüsse zusammenwirken. Für die Interpretation ist entscheidend, ob der Datensatz genügend vergleichbare Tage mit und ohne Ferien enthält.

Zeitreihenanalyse – Beispiel mit Rechnung

Welcher Vergleichstag ist sinnvoll?

Am Montag der dritten Beispielwoche zählt die Bibliothek 120 Besuche, am Dienstag 84. Die Differenz beträgt −36 Besuche. Bezogen auf Montag ist das ein Rückgang um 30 Prozent. Am Dienstag der zweiten Woche kamen 80 Besucher. Gegenüber diesem Dienstag liegt die neue Zahl um vier Besuche oder 5 Prozent höher.

Die erste Rechnung beschreibt, wie stark sich der Betrieb von einem Tag auf den anderen verändert. Die zweite zeigt, wie der aktuelle Dienstag gegenüber einem vergleichbaren Wochentag abschneidet. Für die Frage, ob der Dienstagsdienst inzwischen stärker besetzt werden sollte, sind die früheren Dienstage die passendere Bezugsgröße.

Wie erstellt man eine einfache Prognose?

Eine saisonal-naive Prognose übernimmt für jeden Tag den letzten beobachteten Wert derselben Saisonposition. Die Bibliothek erstellt am Ende der zweiten Woche einen Dienstplan. Für den folgenden Dienstag setzt sie die 80 Besuche des vergangenen Dienstags an. Für Mittwoch verwendet sie den Wert des vergangenen Mittwochs. So entsteht eine vollständige Wochenprognose aus Daten, die bei der Planung bereits vorlagen.

Wie groß ist der Prognosefehler?

Wir berechnen den vorzeichenbehafteten Prognosefehler als Beobachtung minus Vorhersage. Für Dienstag ergibt das 84 − 80 = +4. Das Modell hat vier Besuche zu wenig vorhergesagt. Für Mittwoch ergibt sich mit 90 − 92 = −2 eine Überschätzung um zwei Besuche. Beide Abweichungen spielen bei der Dienstplanung eine Rolle, auch wenn sich ihre Vorzeichen teilweise aufheben.

Die absoluten Fehler der sechs Öffnungstage summieren sich auf 26 Besuche. Geteilt durch sechs ergibt das einen mittleren absoluten Fehler von rund 4,3 Besuchen je Öffnungstag. Nimmst du den geschlossenen Sonntag mit seinem bekannten Nullwert hinzu, sinkt der Wert rechnerisch auf rund 3,7 je Kalendertag. Die Prognose für die Öffnungstage ist dadurch genauso genau wie zuvor. Für die Dienstplanung würde ich deshalb den Fehler je Öffnungstag ausweisen.

Wie bewertet man eine Zeitreihenprognose?

Trainingsdaten und Testdaten zeitlich trennen

Wähle einen vergangenen Stichtag. Passe das Modell mit den Daten an, die bis dahin vorlagen, und prognostiziere die Folgewoche. Vergleiche diese Vorhersagen mit den später beobachteten Besucherzahlen. Rücke anschließend den Stichtag um eine Woche vor und wiederhole die Auswertung. Dieses Verfahren mit rollierendem Prognoseursprung zeigt, wie das Modell unter wechselnden Bedingungen abgeschnitten hätte.

Zur zeitlichen Trennung gehört auch die Datenaufbereitung. Schätzt du eine Messlücke mit dem Mittelwert der gesamten Reihe, fließen spätere Beobachtungen bereits in die Trainingsdaten ein. Berechne solche Größen für jeden Stichtag ausschließlich aus der damals verfügbaren Vergangenheit. Halte für eine abschließende Bewertung einen letzten Zeitraum zurück, wenn du zuvor unter mehreren Modellvarianten ausgewählt hast.

Prognosemodelle mit einer einfachen Vorhersage vergleichen

Der mittlere absolute Fehler, englisch Mean Absolute Error oder MAE, hat dieselbe Einheit wie die Zielgröße. Ein MAE von 4,3 bedeutet hier, dass die Vorhersage an einem Öffnungstag im Mittel um 4,3 Besuche vom tatsächlichen Wert abwich. Vergleiche unterschiedliche Modelle über dieselben Tage und denselben Prognosehorizont mit der saisonal-naiven Vorhersage.

Schau zusätzlich auf Tage, an denen eine Abweichung besonders folgenreich ist. Ein Modell kann im Mittel gut abschneiden und mehrere besuchsstarke Samstage unterschätzen. Wenn gerade dann Schlangen an der Ausleihe entstehen, sollte die Bibliothek den Fehler für Samstage separat auswerten. Weitere Verfahren für Vorhersagen behandelt der Beitrag zu Predictive Analytics.

Prognoseintervalle interpretieren

Eine Punktprognose liefert für nächsten Montag beispielsweise 110 Besuche. Ein zugehöriges 90-Prozent-Prognoseintervall könnte in einem fiktiven Modell von 85 bis 135 reichen. Für die Planung macht diese Spannweite einen konkreten Unterschied. Kann das Team höchstens 120 Besucher ohne längere Wartezeit betreuen, liegt ein Teil der plausiblen Besucherzahlen oberhalb dieser Kapazität.

Prüfe die Intervalle ebenfalls an späteren Beobachtungen. Wenn ein Modell über viele vergleichbare Prognosetage ein 90-Prozent-Intervall ausgibt, sollten ungefähr neun von zehn tatsächlichen Werten darin liegen. Liegen deutlich mehr Beobachtungen außerhalb, unterschätzt das Modell möglicherweise die Unsicherheit. Berücksichtige auch die Intervallbreite. Ein Intervall zwischen 10 und 200 Besuchern hilft wenig bei der Entscheidung, ob am Montag eine zusätzliche Person für die Ausleihe eingeplant werden soll.

Quelle: datenbasiert.de